Một bất đẳng thức liên quan đến mặt cầu đơn vị

June 26, 2009 — hoaiminh

Bài này đã gửi anh Châu để góp vui cho thichhoctoan cuối tuần này . Xin phép anh Châu đăng lại đây để góp vui cho anh em:

Cuối tuần này mình xin được góp vui bằng một bất đẳng thức liên quan đến mặt cầu đơn vị.
Bất đẳng thức được phát biểu như sau: Quan sát một họ hữu hạn điểm \{A_i\} trên măt cầu đơn vị d-chiều. Giả sử rằng khoảng cách từ bao lồi của những điểm này đến gốc tọa độ nhỏ hơn 1/(d+1), nghĩa là tồn tại 0 \le a_i \le 1, \sum a_i = 1, sao cho |\sum a_i A_i| \le 1/ (d+1). Khi đó đuong kính của tập \{A_i\} sẽ lớn hơn hay bằng l_d: = \sqrt{2 + \frac{2}{d+1}}, độ dài cạnh của đa diện đều nội tiêp trong hình cầu đơn vị.

Bất đẳng thức trên phát biểu và chứng minh khá đơn giản nhưng lại có những liên hệ khá thú vi giữa hình học, “đại sô tuyến tinh”, va topo như sau: Quan sát một ánh xạ liên tục $g$ đi từ mặt cầu đơn vị d-chiều vào chính nó. Nếu bậc topo của g khác không khi đó sẽ có một điểm A thuộc mặt cầu, 0< r < 2, và một hằng số c chỉ phụ thuộc vào d sao cho: |\{ (x, y) \in B^2(A, r): |g(x) - g(y)| \ge l_d \}| \ge c |r|^{2d}. Ở đây B(A,r) là quả cầu tâm A bán kính r trong mặt cầu đơn vị .

Bất đẳng thức sau cùng là hệ quả của việc tồn tại $A$ thuộc mặt cầu đơn vị và 0< r < 2 sao cho, nếu bậc topo cua g khác không, \Big| \frac{1}{|B(A,r)|} \int_{B(A,r)} g(s) \, ds \Big| = 0.

Trong những kết quả trên, chúng ta chỉ xét đến chuẩn Euclide. Sẽ rất thụ vị, nếu các bạn có được kết quả cho một chuẩn tùy ý trên mặt cầu đơn vị .

Posted in Giải Tích. 2 Comments »

2 Responses to “Một bất đẳng thức liên quan đến mặt cầu đơn vị”

  1. Quoc Hung Says:
    July 1, 2009 at 12:23 am

    Anh Hoài minh có thể dưới thiệu version bậc tôpô mà anh đang dùng ở trên được không anh.

    Reply
  2. hoaiminh Says:
    July 1, 2009 at 5:58 pm

    Hi Hưng,

    Bậc topo của g ở đây là số lần phủ đại số của g lên một điểm “tùy ỷ” (regular point, hy vọng là dùng đúng từ) . Ví dụ như trong trường hợp S^1 vào S^1 là số vòng quay của g.

    Anh đưa ra ứng dụng ở đây chỉ muốn nói là khi làm cái gì thì có một tí mục đích cụ thể thôi, chứ không muốn bàn luận gì về bậc topo cả :) .

    Reply

Leave a Reply

«

»