hỏi han

Có ai biết cái chứng minh bất đẳng thức Brunn Minkowski (BM) chỉ cho Minh nhé !

Bất đẳng thức BM: |A+B|^\frac{1}{n} \ge |A|^\frac{1}{n} + |B|^\frac{1}{n}, ở đây A, B là 2 tập Borel trong R^n

Minh chỉ biết có cái chứng minh cho A và B là 2 tập mở😦 .

10 Responses to “hỏi han”

  1. LD Says:

    Trong Bulletin AMS có một survey về cái này. MathScinet đi Minh.

  2. hoaiminh Says:

    Dạ em có xem qua bài báo cua Gardner ‘The Brunn Minkowski inequality’. Nhưng tác giả chỉ chứng minh cho A và B mở, còn trường hợp tổng quát thì dùng xấp xỉ, mà em xấp xỉ mãi vẫn không ra, tìm thêm một số tài liệu nữa thi cũng tương tự😦

  3. LD Says:

    I see! Interesting!

  4. Khoa Tran Says:

    Em chưa đọc chứng minh cho open sets nhưng mở rộng từ open sets ra tập bất kì thì cũng straight forward mà nhỉ?

    G/s C, D là interiors của A,B. So, C+D\subset A+B and hence |A+B|^{1/n}\geq |C+D|^{1/n}.

    But |C|\leq |A|=|C+\partial A|\leq|C|+|\partial A|=|C|.

    Since the the inequality holds true for (C,D), it also holds for (A,B).

    Mà ứng dụng của Brunn Minkowski’s inequality là gì? Em học Applied Math nên luôn tò mò về motivation🙂

  5. hoaiminh Says:

    Có những tập A, độ đo dương và int(A) : empty. Nên cần phải thay đổi cách chứng minh của em. Còn 1 trong những ứng dụng của nó la bât đẳng thưc isoperimetric, em có thể tìm bất cứ chỗ nào có viết về cái này

    Cách chứng minh của em đúng cho tập lồi .

  6. Khoa Tran Says:

    Đúng là ẩu thật. Em quên mất trường hợp các tập “rời rạc” như vậy.

  7. trieule Says:

    Theo Triều, để chứng minh cho trường hợp tổng quát hai tập Borel A và B, mình chỉ cần chứng minh điều sau |V|^{\dfrac{1}{n}}\geq |E|^{\dfrac{1}{n}}+|F|^{\dfrac{1}{n}} trong đó V là tập mở chứa A+B, E compact tập con của AF compact tập con của B. Sau đó lấy sup với mọi EF thỏa điều kiện trên, rồi lấy inf với V.

    Bây giờ xem hàm số f: R^{n}\times R^{n}\rightarow R^{n} với f(x,y)=x+y. Vì f liên tục nên f^{-1}(V) là tập mở chứa tập compact E\times F. Như vậy sẽ tồn tại tập mở U chứa E và tập mở W chứa F sao cho U\times W\subset f^{-1}(V) (cái này Triều nghĩ là đúng như phải kiểm tra kỹ lại.) Như vậy ta có U+W \subset V, và do đó |V|^{1/n}\geq |U+W|^{1/n}\geq |U|^{1/n}+|W|^{1/n}\geq |E|^{1/n}+|F|^{1/n} (bất đẳng thức thứ hai đã được chứng minh vì UW mở).

  8. trieule Says:

    Cái hàm số ở trên là f: R^{n}\times R^{n}\rightarrow R^{n} với f(x,y)=x+y. Hồi nãy viết chữ “arrow” bị sai, và mình không sửa cái post được.

  9. hoaiminh Says:

    Chứng minh của Triều đúng và rất hay. Cảm ơn Triều nhé.

  10. 0ooo0 Says:

    |A| mu 1/n nghĩa là gì vậy bạn


Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: