Vài suy nghĩ về học toán phổ thông và toán đại học

Tác giả: Lê Long Triều

GVietMath: Bài này được được gửi trong phần đóng góp cho bài “Học toán đại học. Phần A.” Chúng tôi xin phép đăng thành một bài riêng ở đây và dàn trang lại một chút cho dễ đọc.

Nhân dịp mọi người đang trao đổi, tôi xin đưa ra “Vài suy nghĩ về học toán phổ thông và toán đại học”. Những gì tôi sắp viết ra là những nhận định và suy nghĩ của riêng tôi, cũng có thể cùng ý mà cũng có thể ngược ý với người đọc. Mọi phản hồi đều được hoan nghênh.

1. Học toán phổ thông

Ngay từ khi vào lớp một, chúng ta đã được tiếp xúc với toán và toán là một trong những môn chính trong trường học. Tuy nhiên, toán mà chúng ta học lúc đó chí là học thuộc lòng các công thức và cách áp dụng các công thức đó theo hướng dẫn của thầy cô. Sau đây là một ví dụ: tính nhân , chúng ta được dạy và đến nay vẫn còn thực hiện như sau:
1 2 3
x 4 5
————-
6 1 5
4 9 2
————-
5 5 3 5

Để có được số 615 chúng ta nhân 5 với 3, được 15, ghi 5 và “nhớ” 1; nhân 5 với 2, được 10, cộng với số nhớ thì được 11, ghi 1 và nhớ 1; và cứ thế tiếp tục. Có khi nào bạn chợt hỏi: tại sao thực hiện phép nhân theo qui tắc trên thì được kết quá đúng? Có thể trước khi đọc bài viết này, bạn cũng đã từng thắc mắc như vậy và đã tìm được câu trả lời, nhưng tôi chắc rằng, ở tuổi tiểu học, chẳng ai trong chúng ta có một câu hỏi như vậy với thầy cô. Những gì chúng ta làm là cứ thuộc lòng qui tắc như vậy. Cách học này (và những biến dạng của nó) sẽ theo đuổi đa số học sinh cho đến cấp ba, và đại học.

Lớn hơn một chút, chúng ta học nhiều thứ toán hơn nhưng cách học vẫn tương tự như tiếu học: vẫn học thuộc lòng công thức, thực hiện theo các bước đã được dạy để giải bài tập. Ví dụ phương pháp “giả sử tạm” để giải các bài toán tương tự như “vừa gà vừa chó có tất cả 36 con, 100 chân, hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?” Phương pháp chúng ta được dạy là: giả sử tất cả 36 con là chó (hay giả sử mỗi con gà có 4 chân – tức thêm 2 chân vào mỗi con gà), thì số chân tổng cộng phải là 36×4=144, như vậy dôi ra 44 chân. Do đó số gà là 44/2 = 22, số chó là 36 – 22 = 14. Thực ra mà nói, lần đầu tiên khi soạn bài viết này, tôi cũng quên mất là 44/2 = 22 là số gà hay số chó! Vì vậy, tôi phải ghi thêm cái câu trong ngoặc ở trên, để dễ hiểu hơn. Có thể một số thầy cô lúc đó cũng cố giải thích tại sao cách làm trên là đúng nhưng đa số học sinh chẳng quan tâm – nhớ cách giải thì có dễ dàng hơn không! Sau này, khi học giải phương trình, ví dụ phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, chúng ta lại làm như máy: tính delta b2 – 4ac, sau đó xét dấu delta rồi dùng công thức nghiệm. Tất nhiên lúc này, các thầy cô chắc là có giải thích tại sao ta có các công thức nghiệm như vậy, nhưng phần lớn học sinh chỉ nhớ các bước ở trên thôi. Và tiếp tục như vậy cho đến lớp 12. Dĩ nhiên, có những bài toán đòi hỏi học sinh phải “suy luận” sâu hơn, nhưng thường thì các bài toán đó là “cho học sinh khá, giỏi”. Xin nói rõ ở đây là tôi không có ý định bình luận gì về cách học toán như trên ở cấp phổ thông.

Thực ra toán mà chúng ta học ở phổ thông không phải chỉ có thuộc lòng và làm theo các bước có sẵn như trên. Đặc biệt là môn hình học. Chúng ta bắt đầu được học hình học vào lớp 7 – nếu tôi nhớ không lầm. Đó là lần đầu tiên chúng ta bắt đầu học suy luận, học cách chứng minh. Và tôi chắc rằng, đa số chúng ta đều đồng ý hình học là một môn học khó. Một nguyên nhân là vì các bài toán hình học rất đa dạng, và không có chuyện “thay đổi số” thì sẽ được một “bài toán mới”. Do đó, thường thì không có một phương pháp chung cho toán hình học – hầu như mỗi bài cần một cách giải khác. Nếu học sinh học thuộc lòng bài giải thì biết bao nhiêu bài giải cần phải thuộc? Vì vậy, một học sinh muốn giỏi hình học thì phải học cách suy luận cho tốt; và theo tôi, đây cũng là cách học cho cả bậc đại học. Trong phần hai của bài viết, tôi sẽ thảo luận cách nhìn của tôi về học toán đại học.

2. Học toán đại học

Nếu bạn đang tìm một cách học toán chỉ để “vượt qua” các môn vi tích phân ở đại học mà thôi thì tôi nghĩ là bạn không cần phải tìm hiểu sâu hơn. “Kinh nghiệm” học toán 12 năm của bạn là đủ rồi – vì đa số các bài toán vi tích phân đó cũng chỉ yêu cầu bạn thuộc lòng công thức và phương pháp giải. Tuy nhiên, nếu bạn muốn hiểu sâu hơn vi tích phân, muốn đạt kết quả cao trong các bài thi, hay muốn tiếp tục học toán nhiều hơn (đặc biệt, nếu bạn là sinh viên khoa toán) thì cách học thuộc lòng công thức hay thuộc lòng các bước giải sẽ không giúp bạn đi xa được.

Nhưng như vậy thì phải học như thế nào? Trước hết, chúng ta phải có cách học “chủ động” hơn, phải nên tìm hiểu “tại sao cách làm như vậy sẽ dẫn đến kết quả đúng” và thứ hai, (tôi dẫn ý thầy Dương Minh Đức) “không nên học thuộc lòng bài giải”, mà phải học “ý toán” và “kỹ thuật toán”. Xin đọc thêm các bài viết trên. Ở đây, tôi muốn chia sẽ một cách nhìn về thế nào là học “ý toán” và học “kỹ thuật toán”, làm sao để có cho mình các “ý toán, kỹ thuật toán”? Xem ví dụ sau: chứng minh rằng không phải là số hữu tỉ. Cách giải mà đa số chúng ta sẽ nghĩ tới (và cũng là cách mà đa số sách trình bày – và tôi cũng chắc rằng, ít ai trong chúng ta dám khẳng định “đây là cách tôi tự nghĩ ra, tôi chưa hề đọc trong sách nào hết!”) là như sau. Giả sử với a, b là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau (không có ước số chung lớn hơn 1). Như vậy ta có . Do đó a phải là số chẳn, và ta được Như vậy b lại phải là số chẳn – và ta có điều vô lý, vì lúc này 2 là ước số chung của a và b. Ta thấy các bước giải bài toán này là:

(a) “giả sử là số hữu tỉ”,
(b) viết dưới dạng “a/b với a, b hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau”,
(c) “bình phương” và nhân chéo,
(d) dùng “tính chia hết cho 2” để dẫn đến “điều vô lý”.

Thực ra, ta không cần phải nhớ tất cả các bước trên! Bước (b) là hệ quả của bước (a), vì mọi số hữu tỉ phải có dạng như vậy. Bước (c) lại là một bước tự nhiên sau bước (b), vì khi có căn bậc hai và tỉ số, ta thường bình phương và nhân chéo. Như vậy những “ý toán” cho bài toán trên chỉ là “phản chứng” (bước (a)) và “tính chia hết cho 2” (bước (d)). Đây là những ý ta cần “học”. Chỉ với hai ý trên, chúng ta có thể giải những bài toán tương tự, như không phải là số hữu tỉ.

Thế phải “học” các “ý toán, kỹ thuật toán” như thế nào? Sau đây là một gợi ý. Trước hết ta phải hiểu bài giải sẵn, nếu đọc một lần không hiểu thì phải đọc lại nhiều lần để hiểu – nhưng không phải là học thuộc lòng. Sau khi đã hiểu rồi thì chép riêng các ý toán và dùng chúng để viết lại bài giải, nếu bị bí thì có thể nhìn bài giải đúng ngay chỗ mình cần mà thôi. Và một bước cực kỳ quan trọng nữa là chúng ta phải giải lại bài toán dùng các ý toán mình học được: có thể 1 tuần sau khi đọc lần đầu tiên, rồi 2 tuần sau đó, …. Khi “ôn tập” như vậy, chúng ta có thể không cần phải giải lại toàn bộ bài toán, chỉ cần sắp xếp các ý chính là đủ rồi.

Chúng ta học các ý toán và kỹ thuật toán từ đâu? Câu trả lời là từ các chứng minh của các định lý trong sách hoặc trong các bài giảng của các thầy cô, hoặc trong các “gợi ý” trong các bài tập. Bài tập trong các sách của thầy Dương Minh Đức thường chứa rất nhiều các gợi ý, tuy nhiên chúng ta cũng nên suy nghĩ lời giải trước khi đọc các gợi ý đó. Để kết thúc bài viết, tôi nêu thêm một số ví dụ kèm với các ý toán.

Ví dụ 1: chứng minh rằng mọi dãy số thực tăng và bị chận trên đều có giới hạn. Dĩ nhiên muốn chứng minh được điều này, ta phải nắm rõ các định nghĩa: dãy số là gì, thế nào là dãy số tăng, thế nào là bị chặn, thế nào là có giới hạn. Bạn có thể (nếu không tự mình chứng minh được) đọc chứng minh chi tiết trong các sách vi tích phân. Điều tôi muốn đề cập ở đây là ý toán: lấy “chận trên nhỏ nhất” (sup) và chứng minh đó là giới hạn. Đây là ý chính mà tôi (và chắc rằng các đồng nghiệp của tôi) “thuộc lòng” cho bài toán trên. Rộng hơn, khi gặp một bài toán mới mà một đại lượng nào đó có tính chất “tăng” (không hẳn là dãy số tăng nữa), ta có thể nghĩ đến “chận trên nhỏ nhất” (theo một nghĩa nào đó).

Ví dụ 2: chứng minh rằng mọi dãy số thực bị chận đều chứa một dãy con có giới hạn (Bolzano – Weierstrass). Một lần nữa, trước khi giải bài toán này, ta phải nắm rõ các định nghĩa. Ý chính (mà tôi nhớ) để giải bài này là: (a) chứng minh từ dãy số đã cho, có một dãy con đơn điệu (tăng hay giảm), (b) sau đó dùng ví dụ ở trên về dãy đơn điệu bị chận. Thực ra khi viết đến đoạn này, tôi chưa nhớ lại cụ thể là mình phải làm bước (a) như thế nào, nhưng tôi nghĩ là tôi sẽ làm được nếu viết ra giấy rõ ràng.

Đó là những điều tôi muốn nói trong bài viết này. Chúc bạn thành công.