Hỏi: Tính lồi đều của không gian Sobolev

GVietMath: Thử nghiệm trang Hỏi đáp về toán. Bài đầu tiên này trích từ thảo luận trong mục About.

#
Quoc Hung Says:
June 27, 2009 at 12:32 am edit

Về việc chứng minh không gian (W^{1,p},||.||_{1,p})
Reply

*
Quoc Hung Says:
June 27, 2009 at 1:07 am edit

Cho \Omega mở (bị chặn trong ) \mathbb{R}^N.
Ta có, (W^{1,p}(\Omega),||.||_{1,p}) là không gian lồi đều với p\in (1,\infty)
Trong đó,
||u||_{1,p} = \left( \int_\Omega |u|^p  + \sum_{i = 1}^N \int_\Omega |\frac{\partial u}{\partial x_i}|^p \right)^{\frac{1}{p}}
Chứng minh đều này, em thấy nhiều sách họ nói dựa theo cách chứng minh lồi đều trong L^p(\Omega) ( tức là với chuẩn ||u||_p = \left( {\int\limits_\Omega {|u|^p } } \right)^{\frac{1}{p}} rồi suy ra thẳng ra (W^{1,p}(\Omega),||.||_{1,p}) lồi đều.
Chẳng hạn như cuốn của Adams thì chỉ cm L^p(\Omega) là lồi đều thôi.
Nhưng em thấy, việc chứng minh 1 cách tương tự nhưng họ nói là không dễ chút nào ( ta có thể xử lí 1 cách dễ trong trường hợp p\in [0,\infty) còn p\in (1,2) là hơi khó xử lí )
Reply
o
Quoc Hung Says:
June 27, 2009 at 1:13 am edit

Các anh, cho em hỏi ngày xưa các anh đọc qua chỗ này xử lí như thế nào vậy anh. Em thấy xử lí trường hợp p\in (1,2) ra, nhưng rất khó khăn

#
Quoc Hung Says:
June 27, 2009 at 1:18 am edit

Chuẩn trong W^{1,p}(\Omega)
||u||_{1,p}=(\int_{\Omega}|u|^p+\int_{\Omega}|\frac{\partial u}{\partial x_1}|^p+..+\int_{\Omega}|\frac{\partial u}{\partial x_N}|^p)^{1/p}
Reply
#
hoaiminh Says:
June 28, 2009 at 4:09 pm edit

Chào Quốc Hưng, mình phải xem lại định nghĩa để biết thế nào là không gian lồi đều🙂 . Bạn có thể sử dụng 2 bất đẳng thức cua Clarkson trong sách Brezis “Analyse Fonctionnelle” trang 59 và 60, không cần phải biết tiếng Pháp để hiểu nó đâu. Sau khi đọc xong 2 bất đẳng thức này hy vọng bạn sẽ chứng minh được điều mình muốn .
Reply

*
Quoc Hung Says:
June 29, 2009 at 12:23 am edit

Sách của Haim Brezis ” Analyse Fonctionnelle” trong sách này chỉ nói đến L^p(\Omega) , tức là chứng minh chuẩn ||.||_p (||u||_p=(\int_{\Omega}|u|^p)^{1/p}) là lồi đều. Nhưng cái chúng ta cần chứng minh ||.||_{W^{1,p}(\Omega)} là lồi đều

Việc chứng minh (W^{1,p}(\Omega), ||.||_{W^{1,p}(\Omega)} là lồi đều.
Cái khó khăn nhất là xử lí trường hợp 1<p=2 khá dễ dàng ), việc xử lí trường hợp này không thể tương tự như L^p(\Omega)
Reply

#
Quoc Hung Says:
June 29, 2009 at 12:28 am edit

Lỗi xin:
Trường hợp 1<p=2 dễ dàng chứng minh được
Reply

*
Quoc Hung Says:
June 29, 2009 at 12:31 am edit

Gõ bị lỗi quá
sửa lại
Trương hợp p lớn hơn 1 và bé hơn 2 thì khó khăn
Trường hợp p lớn hơn (or bằng ) 2 thì dễ dang làm được
Reply

#
Quoc Hung Says:
June 29, 2009 at 12:41 pm edit

Cảm ơn anh hoài minh đã gợi ý cho em.

Đây là chứng minh (W^{1,p},||.||_{1,p}) là lồi đều, mong các anh ( anh hoài minh ) cho ý kiến nhen
http://azsharing.com/im9p7kf8yktm/Uniformconvexity.PDF.html
Reply
#
hoaiminh Says:
June 29, 2009 at 7:46 pm edit

Hi hi, anh có xem mấy cái bổ đề, bổ đề 1 phát biểu đúng, còn chứng minh thì anh chưa xem. Nhưng nếu em đã biết dùng bổ đề 1 rồi thi mọi thứ sẽ ổn thôi.

Em có thể nghĩ xem vì sao trường hợp 1 < p c, nhưng điều này là đủ để chứng minh kết quả em cần . Chúng em thành công va nô đùa với toán học .
Reply

*
Quoc Hung Says:
June 29, 2009 at 9:17 pm edit

Chào anh Hoài minh
Trong bổ đề 1 , Bất đẳng thức (2) mạnh hơn bất đẳng thức (1) . Cho nên ta chỉ cần chứng minh Bất đẳng thức ( 2) ( tức là trường hợp 1<p và p<2 ) là xong

Cảm ơn anh Hoài Minh nhen
Reply

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: