Làm toán về fluid trong porous media (1)

Toán về fluid (lưu thể (?): chất lỏng, khí) thì nhiều vô số. Ở đây không phải tôi trình bày tất cả mà chỉ gợi mở để mọi người cùng tham gia nhất là các bạn sinh viên có thể tập làm toán. Vấn đề liên quan về fluid trong môi trường porous media. Porous media là các môi trường, vật liệu có lỗ nhỏ mà fluid có thể chảy qua được, ví dụ như đất cát, các miếng xốp. Khi fluid chảy trong các chất liệu này thì ngoài tuơng tác giữa các lớp fluid còn có tuơng tác giữa fluid và vật liệu. Do đó phương trình mô tả chuyển động không thuần tuý là Euler/Navier-Stokes. Có nhiều cách để viết phuơng trình trong trường hợp này. Có thể đi từ cấp độ các phần tử nhỏ (particles) rồi lấy giới hạn (Boltzman euqations, kinetic theory). Có thể dựa vào các thí nghiệm cụ thể để tìm quy luật liên quan đến chuyển động. Các vấn đề tôi trình bày lấy mô hình từ phương thức thứ hai này.

Luật Darcy: Darcy làm thí nghiệm và phát biểu là tốc độ (velocity: u) của fluid ngược hướng với gradient của áp suất (pressure: p). Viết thành phuơng trình thì đơn giản là

u=- K\nabla p,

với K là hằng số. Quan hệ này là tuyến tính và quá đơn giản. Tuy vậy nó được dùng để mô tả chuyển động gần đúng của fluid trong môi trường, vật liệu “đẹp dẽ” ở tốc độ chậm.

Sau Darcy, Forchheimer làm thí nghiệm và đề ra các quy luật phi tuyến sau:

(a +b|u|)u=- K \nabla p,

(a +b|u|+c|u|^2)u=- K \nabla p,

(a+b|u|^r) u=- K \nabla p,

trong đó a,b,c>0, số r nằm giữa 1 và 2, và |u| là chuẩn Euclide của vectơ u. Các “luật” này được nhiều người nghiên cứu và mở rộng.

Câu hỏi 1: Thử mở rộng (thuần tuý về toán) các phuơng trình trên.

(còn nữa)

3 Responses to “Làm toán về fluid trong porous media (1)”

  1. hoaiminh Says:

    Không biết luật Darcy + mấy cái luật về truyền nhiệt có thể thu được từ mức độ phân tử không nhỉ ?

    Hôm trước nghe seminar có 1 bạn ở Utah cũng có nhắc đến cái luật này khi nghiên cứu mấy tảng băng ở các vùng Bắc và Nam cực .

  2. HTLuan Says:

    Theo ông bạn đồng nghiệp hiểu biết hơn về mô hình này thì ít nhất cho Darcy, với một số điều kiện thì người ta chứng minh được. Còn non-linear Darcy thì thiệt tình tôi không biết.
    Tuy nhiên đợi cho bên toán chứng minh được mô hình thì bên vật lý, kỹ sư thất nghiệp dài dài 🙂

  3. HTLuan Says:

    Hôm bữa có coi lại bài trên AMS Notices của bạn/tay/ông bên Utah đó. Họ dùng phương trình Darcy, nhưng cái chính là lý luận + đo đạc để đưa ra mô hình mấy cái permeability. Vì là thực nghiệm nên họ có hai mô hình (1) phụ thuộc áp suất, và (2) phụ thuộc porosity. Mô hình thứ nhất của họ tôi quan tâm hơn, khi nào buồn buồn có thể lấy ra làm thử🙂


Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: