Hỏi: Tính lồi đều của không gian Sobolev

GVietMath: Thử nghiệm trang Hỏi đáp về toán. Bài đầu tiên này trích từ thảo luận trong mục About.

#
Quoc Hung Says:
June 27, 2009 at 12:32 am edit

Về việc chứng minh không gian (W^{1,p},||.||_{1,p})
Reply

*
Quoc Hung Says:
June 27, 2009 at 1:07 am edit

Cho \Omega mở (bị chặn trong ) \mathbb{R}^N.
Ta có, (W^{1,p}(\Omega),||.||_{1,p}) là không gian lồi đều với p\in (1,\infty)
Trong đó,
||u||_{1,p} = \left( \int_\Omega |u|^p  + \sum_{i = 1}^N \int_\Omega |\frac{\partial u}{\partial x_i}|^p \right)^{\frac{1}{p}}
Chứng minh đều này, em thấy nhiều sách họ nói dựa theo cách chứng minh lồi đều trong L^p(\Omega) ( tức là với chuẩn ||u||_p = \left( {\int\limits_\Omega {|u|^p } } \right)^{\frac{1}{p}} rồi suy ra thẳng ra (W^{1,p}(\Omega),||.||_{1,p}) lồi đều.
Chẳng hạn như cuốn của Adams thì chỉ cm L^p(\Omega) là lồi đều thôi.
Nhưng em thấy, việc chứng minh 1 cách tương tự nhưng họ nói là không dễ chút nào ( ta có thể xử lí 1 cách dễ trong trường hợp p\in [0,\infty) còn p\in (1,2) là hơi khó xử lí )
Reply
o
Quoc Hung Says:
June 27, 2009 at 1:13 am edit

Các anh, cho em hỏi ngày xưa các anh đọc qua chỗ này xử lí như thế nào vậy anh. Em thấy xử lí trường hợp p\in (1,2) ra, nhưng rất khó khăn

#
Quoc Hung Says:
June 27, 2009 at 1:18 am edit

Chuẩn trong W^{1,p}(\Omega)
||u||_{1,p}=(\int_{\Omega}|u|^p+\int_{\Omega}|\frac{\partial u}{\partial x_1}|^p+..+\int_{\Omega}|\frac{\partial u}{\partial x_N}|^p)^{1/p}
Reply
#
hoaiminh Says:
June 28, 2009 at 4:09 pm edit

Chào Quốc Hưng, mình phải xem lại định nghĩa để biết thế nào là không gian lồi đều 🙂 . Bạn có thể sử dụng 2 bất đẳng thức cua Clarkson trong sách Brezis “Analyse Fonctionnelle” trang 59 và 60, không cần phải biết tiếng Pháp để hiểu nó đâu. Sau khi đọc xong 2 bất đẳng thức này hy vọng bạn sẽ chứng minh được điều mình muốn .
Reply

*
Quoc Hung Says:
June 29, 2009 at 12:23 am edit

Sách của Haim Brezis ” Analyse Fonctionnelle” trong sách này chỉ nói đến L^p(\Omega) , tức là chứng minh chuẩn ||.||_p (||u||_p=(\int_{\Omega}|u|^p)^{1/p}) là lồi đều. Nhưng cái chúng ta cần chứng minh ||.||_{W^{1,p}(\Omega)} là lồi đều

Việc chứng minh (W^{1,p}(\Omega), ||.||_{W^{1,p}(\Omega)} là lồi đều.
Cái khó khăn nhất là xử lí trường hợp 1<p=2 khá dễ dàng ), việc xử lí trường hợp này không thể tương tự như L^p(\Omega)
Reply

#
Quoc Hung Says:
June 29, 2009 at 12:28 am edit

Lỗi xin:
Trường hợp 1<p=2 dễ dàng chứng minh được
Reply

*
Quoc Hung Says:
June 29, 2009 at 12:31 am edit

Gõ bị lỗi quá
sửa lại
Trương hợp p lớn hơn 1 và bé hơn 2 thì khó khăn
Trường hợp p lớn hơn (or bằng ) 2 thì dễ dang làm được
Reply

#
Quoc Hung Says:
June 29, 2009 at 12:41 pm edit

Cảm ơn anh hoài minh đã gợi ý cho em.

Đây là chứng minh (W^{1,p},||.||_{1,p}) là lồi đều, mong các anh ( anh hoài minh ) cho ý kiến nhen
http://azsharing.com/im9p7kf8yktm/Uniformconvexity.PDF.html
Reply
#
hoaiminh Says:
June 29, 2009 at 7:46 pm edit

Hi hi, anh có xem mấy cái bổ đề, bổ đề 1 phát biểu đúng, còn chứng minh thì anh chưa xem. Nhưng nếu em đã biết dùng bổ đề 1 rồi thi mọi thứ sẽ ổn thôi.

Em có thể nghĩ xem vì sao trường hợp 1 < p c, nhưng điều này là đủ để chứng minh kết quả em cần . Chúng em thành công va nô đùa với toán học .
Reply

*
Quoc Hung Says:
June 29, 2009 at 9:17 pm edit

Chào anh Hoài minh
Trong bổ đề 1 , Bất đẳng thức (2) mạnh hơn bất đẳng thức (1) . Cho nên ta chỉ cần chứng minh Bất đẳng thức ( 2) ( tức là trường hợp 1<p và p<2 ) là xong

Cảm ơn anh Hoài Minh nhen
Reply

Advertisements

Một bất đẳng thức liên quan đến mặt cầu đơn vị

Bài này đã gửi anh Châu để góp vui cho thichhoctoan cuối tuần này . Xin phép anh Châu đăng lại đây để góp vui cho anh em:

Cuối tuần này mình xin được góp vui bằng một bất đẳng thức liên quan đến mặt cầu đơn vị.
Bất đẳng thức được phát biểu như sau: Quan sát một họ hữu hạn điểm \{A_i\} trên măt cầu đơn vị d-chiều. Giả sử rằng khoảng cách từ bao lồi của những điểm này đến gốc tọa độ nhỏ hơn 1/(d+1), nghĩa là tồn tại 0 \le a_i \le 1, \sum a_i = 1, sao cho |\sum a_i A_i| \le 1/ (d+1). Khi đó đuong kính của tập \{A_i\} sẽ lớn hơn hay bằng l_d: = \sqrt{2 + \frac{2}{d+1}}, độ dài cạnh của đa diện đều nội tiêp trong hình cầu đơn vị.

Bất đẳng thức trên phát biểu và chứng minh khá đơn giản nhưng lại có những liên hệ khá thú vi giữa hình học, “đại sô tuyến tinh”, va topo như sau: Quan sát một ánh xạ liên tục $g$ đi từ mặt cầu đơn vị d-chiều vào chính nó. Nếu bậc topo của g khác không khi đó sẽ có một điểm A thuộc mặt cầu, 0< r < 2, và một hằng số c chỉ phụ thuộc vào d sao cho: |\{ (x, y) \in B^2(A, r): |g(x) - g(y)| \ge l_d \}| \ge c |r|^{2d}. Ở đây B(A,r) là quả cầu tâm A bán kính r trong mặt cầu đơn vị .

Bất đẳng thức sau cùng là hệ quả của việc tồn tại $A$ thuộc mặt cầu đơn vị và 0< r < 2 sao cho, nếu bậc topo cua g khác không, \Big| \frac{1}{|B(A,r)|} \int_{B(A,r)} g(s) \, ds \Big| = 0.

Trong những kết quả trên, chúng ta chỉ xét đến chuẩn Euclide. Sẽ rất thụ vị, nếu các bạn có được kết quả cho một chuẩn tùy ý trên mặt cầu đơn vị .

Bạn nghĩ gì về những đinh luật bảo toàn trong cơ học :)

Trong cơ học có 3 định luật cơ bản: đinh luật bảo toàn năng lượng, momentum, va angular momentum.

Hối nhỏ lúc đi học vật lý, thi 2 định luật đầu, mình còn hoi tin tin, cái cuối cùng thì chỉ bị ép buột mới sử dụng , và cũng không hiểu vì sao các bạn của mình lại tin những cái này đến vậy . Gần đây có luyện tập một số động tác cơ bản của mechanics, nên đã thấy những điều thú vị sau:

DL bảo toàn năng lượng là hệ quả của thừa nhận: Thời gian là homogeneous: “nghĩa là hiện tượng cơ học không phụ thuộc vào thời gian xảy ra”.

DL bảo toàn momentum là hệ quả của thừa nhận: Không gian là homogeneous: “nghĩa là hiện tượng cơ học xảy ra như nhau, nếu ta đem tịnh tiến hệ”.

DL bảo toàn angular momentum là hệ quả của thừa nhận: Không gian là isotropic: “nghĩa là hiện tượng cơ học xảy ra như nhau, nếu ta đem quay hệ”.

Các bạn yêu cơ học có thể tham khảo cuốn sách sau:
Mechanics của LD Landau, EM Lifshitz. Ở đây các bạn có thể tìm hiểu nhiều về tính chât vật lý của hệ . Còn các bạn thích tìm hiểu nhiều về tính chất toán học có thể tham khảo sách cua Arnold.

Thường làm toán ứng dụng cũng cần đến vật lý hoặc các ngành liên quan . Hy vọng các em ở nhà khi có cơ hội thì ráng học tốt những ngành này .

Ps: Mình không phải là người của đạo vật lý, nhưng thích vật ly, nên có gì anh em thông cảm

Họp mặt cựu sinh viên khoa Toán-Tin ĐHKHTN, SG.

Trích từ thông báo của khoa Toán-Tin Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, tp HCM

Hội cựu sinh viên Khoa Toán – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM dự định tổ chức buổi họp mặt vào ngày 09 tháng 08 năm 2009 (nhằm ngày chủ nhật). Nay Ban liên lạc hội cựu sinh viên khoa trân trọng kính mời các anh chị đã từng là

  • sinh viên khoa Toán, trường Đại học Sài gòn (trước 1975)
  • sinh viên khoa Toán, trường Đại học tổng hợp Tp.HCM
  • sinh viên khoa Toán – Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM

vui lòng đăng ký danh sách cho ban liên lạc hội cựu sinh viên của khoa thông qua địa chỉ : cuusinhvientoantinsaigon@gmail.com

Mời xem thêm thông báo ở đây.

Thông tin thêm về mục đích của hội và chuơng trình cuộc họp đầu tiên, theo Trịnh Thanh Đèo, một thành viên của ban liên lạc.

Hội CSV được thành lập từ ý tưởng của thầy Đặng Đức Trọng và thầy Nguyễn Văn Quang (bộ môn cơ học). Đã tổ chức các buổi họp trù bị, ngày 09 tháng 08 này sẽ ra mắt chính thức.

Mục đích:
1. Giúp mọi người gặp gỡ nhau (gặp bạn cũ).
2. Tạo cầu nối giữa cựu sinh viên với khoa.
3. Giúp định hướng việc làm cho sinh viên sắp ra trường.
4. Đã liên lạc được với nhiều người rồi, dự kiến có khỏang 300 người dự
5. Buổi gặp mặt chủ yếu là giao lưu và CSV có thể ký kết hợp tác với khoa (về nhân sự chẳng hạn), hỗ trợ khoa (về mặt tinh thần chẳng hạn, vật chất càng tốt).
6. Chương trình chính chỉ có ăn, không có nhậu (nhưng có thể có các chương trình phụ, tùy từng nhóm).
7. ………… .. Ai có gợi ý gì thêm thì có thể góp ý cho ban liên lạc.

(Trích từ thư riêng chứ không phải là thông báo chính thức, chuẩn mực.)

Quảng cáo

Nghe đồn rằng anh Châu có mở blog. Anh em cần hỏi gì về đại số hoặc những thứ anh Châu làm thi qua bên đó hóng chuyện nhé .

http://thichhoctoan.wordpress.com/